2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимальная сумма ряда
Сообщение05.03.2014, 21:09 


26/03/11
235
ЭФ МГУ
Пусть $a$ — действительное число. Для каждого целого $n\ge0$ обозначим через $a_n$ расстояние от $a$ до ближайшего рационального числа вида $\frac{m}{2^n}$, где $m$ — целое. Найдите наибольшую возможную сумму ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$.

Мне кажется это будет сумма ряда $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2^i}=2$. Мысль такая: у нас есть нитка длиной $a$. И каждый раз мы измеряем её длину линейкой с ценой деления $\frac{1}{2^n}$ и ближайшее рациональное всегда ближе или дальше на одно деление линейки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение05.03.2014, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13111
с Территории
Ближайшее всегда ближе или дальше на пол-деления.

-- менее минуты назад --

И это не говоря о других нюансах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение05.03.2014, 22:13 


26/03/11
235
ЭФ МГУ
Да, я понял. Глупость сказал. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение05.03.2014, 23:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4377
Blancmange curve

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение06.03.2014, 02:45 


26/03/11
235
ЭФ МГУ
Наверное, можно всё-таки извлечь какую-то пользу: сумма точно меньше, чем $1$ и больше, чем $\frac{1}{2}$.

venco
Спасибо, прочитал, но так и не понял, как руками посчитать. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение07.03.2014, 18:07 
Аватара пользователя


26/05/12
476
приходит весна?
Если ряд обратных двоек просуммировать через одно число, то разве не искомое максимальное значение получится? Это наглядно следует из графического построения кривой Бланманже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение07.03.2014, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Чисто интуитивно максимум достигается при $a=1/3$ (ну, или $2/3$ и т.п.). Он равен $2/3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение07.03.2014, 21:23 
Заслуженный участник


04/05/09
4377
А точнее при $a=\frac12\pm\frac1{2^3}\pm\frac1{2^5}\dots$

-- Пт мар 07, 2014 13:29:39 --

Или другими словами, когда $a$ - число, в четверичной записи которого только нечётные цифры 1 или 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение23.04.2015, 16:04 


29/04/14
139
venco в сообщении #833980 писал(а):
А точнее при $a=\frac12\pm\frac1{2^3}\pm\frac1{2^5}\dots$

А как до этого можно самостоятельно дойти ? Как до этого додуматься неинтуитивно?
То есть по графику кривой бламанже это хорошо видно, но видно - это же не аргумент.
Как аргументированно доказать, что при этом значении $a$ достигается максимум суммы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение23.04.2015, 21:25 


07/04/15
230
xolodec
Запишите, как выглядит функция "расстояние до ближайшего целого"

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная сумма ряда
Сообщение24.04.2015, 09:23 


29/04/14
139
2old в сообщении #1007321 писал(а):
Запишите, как выглядит функция "расстояние до ближайшего целого"

Вот $$s(x)=\min_{n\in{\bold Z}}|x-n|$$, которая входит в кривую бламанже следующим образом: $${\rm blanc}(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}$$
Я это прочитал еще с начала темы, но все равно не догадался, как до результата
venco в сообщении #833980 писал(а):
А точнее при $a=\frac12\pm\frac1{2^3}\pm\frac1{2^5}\dots$
дойти строгим путем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group