2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение03.04.2015, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #999464 писал(а):
Для линейных пространств обычно вместо "прямое произведение" говорят "прямая сумма" и обозначают $U\oplus V$.

И в итоге, тензорное произведение отличается от прямого примерно тем же, чем обычное умножение от сложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение03.04.2015, 18:27 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
illuminates в сообщении #999714 писал(а):
AGu в сообщении #999636 писал(а):
Вы не то тензорное произведение откопали. Вам нужно тензорное произведение пространств, а не операторов.
А почему тогда в книге написано про пространства
Рад бы отвертить, да не могу: на той странице нет тензорного произведения пространств. Это не то определение, которое Вы ищете.

Я не знаю, на каком уровне Вам нужно просечь это понятие, но в любом случае стоит увидеть хотя бы одно нормальное определение тензорного произведения пространств.
Советовать толстые учебники не берусь: это, видимо overkill. (Хотя, может, кто-то знающий и присоветует.)
Если устроит начальный наивный уровнь, то сгодится статья из Wikipedia.
(Только ни в коем случае не открывайте одноименную статью из русской Википедии! Это вредно для математического здоровья.)
Современные строгие определения тензорного произведения векторных пространств так или иначе связаны с билинейными операторами.
В качестве компромисса можно почитать статью «How to lose your fear of tensor products».

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение03.04.2015, 18:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
AGu в сообщении #999595 писал(а):
конечномерные
Точно, спасибо за коррекцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение03.04.2015, 18:47 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Хотел сразу сказать, да забыл...
Вам нужно просечь определение настолько основательно, чтобы понять, что отклик arseniiv является правильным и, наверное, самым адекватным ответом на Ваш вопрос. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение04.04.2015, 08:26 


22/06/12
417
Итого давайте сумировать - ибо я плохо понял.

1) Сеё дело:
Sonic86 в сообщении #999576 писал(а):
Возьмем $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$, базисные векторы $(1;0);(0;1)$ в произведении дадут $e_1=(1;0;1;0);e_2=(1;0;0;1);e_3=(0;1;1;0);e_4=(0;1;0;1);$, ну так очевидно, что $e_1+e_4=e_2+e_3$.


Как я понял, было контрпримером, доказываюшим что моё определение:
Цитата:
Прямое произведение я понимаю, как пространство элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

неверно, так как в этом примере размерность полученого пространства равна трём? Тогда какое определение верное?

2) Далее я хочу убедится что с размерностями всё будет в порядке как написано у
arseniiv в сообщении #999458 писал(а):
возьмём конечномерные пространства $U, V$ и базисы $(\ldots,u_i,\ldots)$ у $U$ и $(\ldots,v_j,\ldots)$ у $V$. Тогда у $U + V$ базисом будет $(\ldots,u_i,\ldots,v_j,\ldots)$, и потому размерность $\dim U+\dim V$, а у $U\otimes V$ базисом будет $(\ldots,u_i\otimes v_j,\ldots)$, и потому размерность $\dim U\dim V$


Честно $(\ldots,u_i,\ldots,v_j,\ldots)$ и $(\ldots,u_i\otimes v_j,\ldots)$ я не понимаю что значит. Может они сокращены?
Давайте хотя бы пример что-бы разобратся рассмотрим. Рассмотрим два трёхмерных пространства с базисами $(e_1^1,e_2^1,e_3^1) (e_1^2,e_2^2,e_3^2) (e_1^3,e_2^3,e_3^3)$ и $(e'_1^1,e'_2^1,e'_3^1) (e'_1^2,e'_2^2,e'_3^2) (e'_1^3,e'_2^3,e'_3^3) $

Напишем прямое произведение. $(e_1^1,e_2^1,e_3^1,e'_1^1,e'_2^1,e'_3^1)$ и т.д.
- получим в итоге девять векторов размерности шесть. (видемо из-за этого можно сделать вывод о линейной зависемости трёх)

Напишем тензорное произведение $(e_1^1 \otimes e'_1^1 ,e_2^1 \otimes e'_2^1 ,e_3^1 \otimes e'_3^1)$ Правильно? Опять шестимерные вектора? Как же мы тогда размерность 9 получим?

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение04.04.2015, 08:40 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Повторяю, до тех пор пока Вы не прочитаете (и не постараетесь понять) хотя бы одно определение тензорного произведения пространств, дискуссия бесполезна. Ни одно из определений в этой теме пока не прозвучало. (А сейчас почти все, что Вы пишете, не имеет смысла. Увы.)

[Добавочка]
Кстати, оказыватся, прямо на dxdy есть такая тема: Еще раз о тензорном произведении, где Padawan нарисовал кучу красивостей. (Я не вчитывался, но ему можно смело доверять.)

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение04.04.2015, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
illuminates в сообщении #999862 писал(а):
Напишем тензорное произведение $(e_1^1 \otimes e'_1^1 ,e_2^1 \otimes e'_2^1 ,e_3^1 \otimes e'_3^1)$ Правильно? Опять шестимерные вектора?

Неправильно два раза: во-первых, вы написали трёхмерный вектор, а не шестимерный.

А во-вторых, надо "каждый с каждым":
$(e^1\otimes e'^1,e^1\otimes e'^2,e^1\otimes e'^3,e^2\otimes e'^1,e^2\otimes e'^2,e^2\otimes e'^3,e^3\otimes e'^1,e^3\otimes e'^2,e^3\otimes e'^3)$
(где $e^1,e^2,e^3$ - базис первого пространства, а $e'^1,e'^2,e'^3$ - базис второго, а перечислять компоненты этих векторов нет никакого смысла).

-- 04.04.2015 14:54:06 --

На пальцах. Возьмём трёхмерное пространство. Его векторы - это три числа (поговорим пока о пространствах над $\mathbb{R}$), например, $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.$ Пространство таких троек чисел - это пространство произвольных $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$ Его можно себе представить как прямую сумму подпространств, например, подпространства троек $\begin{pmatrix}a\\0\\a\end{pmatrix},$ подпространства троек $\begin{pmatrix}0\\a\\a\end{pmatrix},$ и подпространства троек $\begin{pmatrix}-a\\-a\\a\end{pmatrix}.$ Это значит, что любой элемент суммарного пространства может быть представлен как сумма элементов пространств-слагаемых, причём единственным образом:
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(2a-b+c)/3\\0\\(2a-b+c)/3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\(-a+2b+c)/3\\(-a+2b+c)/3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-(-a-b+c)/3\\-(-a-b+c)/3\\(-a-b+c)/3\end{pmatrix}.$$
Возьмём прямую сумму двух таких пространств троек. Её можно представить себе как пространство шестёрок чисел, например, $\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\end{pmatrix}.$ Вообще все числа здесь произвольны, так что в общем виде $\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{pmatrix}.$

А вот тензорное произведение таких пространств - это пространство девяток чисел, таких как $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},$ и в общем виде $\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение09.04.2015, 06:25 


22/06/12
417
спасибо всем откликнувшимся!

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение09.04.2015, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Контрольный вопрос: что будет элементами пространства $\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение10.04.2015, 16:33 


22/06/12
417
Munin
Получим вектор с 27 компонентами (в каждой компоненте сидит тензорное произведение векторов). Правильно? А как в матричном виде записать как у Вас я - не знаю. Если только взять неквадратную матрицу. Скажем [9x3].

 Профиль  
                  
 
 Re: чем тензорное произведение отличается от прямого
Сообщение10.04.2015, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да. В общем, это "кубик" чисел, и его можно записывать "по слоям".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group