2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Классификация одомерных многообразий
Сообщение10.04.2015, 17:02 


11/07/14
132
Стало интересно разобрать теорему о классификации одномерных многообразий. Нашел доказательство в книге Рохлина, но оно мне не понравилось. Решил написать доказательство заново со своей идеей. Не получается кое-что показать.

Сейчас многообразие --- это хаусдорфово локально-евклидово топологическое пространство со счетной базой. По умолчанию считаем, что наше 1-могообразие без края.

Попытка доказательства:
1) Пусть $X$ --- связное топологическое многообразие. В качестве базы для топологии я беру открытые подмножества гомеоморфные $(0,1).$ Пусть $\mathcal{U}=\{U_{\alpha}\}$ --- открытое покрытие и $U__{\alpha} \cong (0,1).$

2) Если $X$ компактно, то $\mathcal{U}$ конечно. Если $X$ не компактно, то $\mathcal{U}$ не более чем счетно.

3) $\mathcal{U}$ --- "хорошее", если $\forall U_{\alpha}: \quad V_{\alpha}=\bigcup_{\beta \ne \alpha} U_{\beta} \ne X.$
Cтроить "хорошее" $\mathcal{U}$ я умею и процедуру приводить не буду.

4) Считаем $\mathcal{U}$ "хорошим". Если $X$ компактно, то $\mathcal{U}$ конечно и $\alpha \geqslant 2,$ так как $(0,1)$ не компакт. Пусть $\varphi_{\alpha}\colon (0,1) \to U_{\alpha}$ гомеоморфизм.
Я хочу показать, что если $(x_n)\in(0,1)$ --- последовательность и $x_n\to 0, n \to \infty,$ то $\Big(\varphi_{\alpha}(x_n) \Big)$ имеет единственную предельную точку $p_{\alpha}=\lim_{n\to \infty}\varphi_{\alpha}(x_n) \in dU_{\alpha}.$

Дальше еще много пунктов, но уже сейчас возник вопрос: Как показать, что $\Big(\varphi_{\alpha}(x_n) \Big)$ имеет предел?
Есть идея: показать, что в базу можно добавить условие, что замыкание каждого из открытых подмножеств гомеоморфно $[0,1].$ И рассмотреть продолжение гомеоморфизма. Не ясно как доказывать, что такое условие не ограничивает общности.

В этом же пункте аналогично показываю, что если $(x_n)\in(0,1)$ --- последовательность и $x_n\to 1, n \to \infty,$ то $\Big(\varphi_{\alpha}(x_n) \Big)$ имеет единственную предельную точку $h_{\alpha}=\lim_{n\to \infty}\varphi_{\alpha}(x_n) \in dU_{\alpha}.$

Тут возникает вопрос: Почему нет других точек, которые принадлежат границе $U_{\alpha}$ ?

Помогите разобраться с этими вопросами. Дальше есть идея как доказывать, но там тоже есть моменты, которые не получается нормально записать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group