2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Попытка решить диофантово уравнение
Сообщение08.04.2015, 15:14 


03/03/12
1380
 i  Deggial: отделено из этой темы. Предмет обсуждения = помогите найти ошибку или подтвердите правильность рассуждения.


nnosipov в сообщении #1001473 писал(а):
$$
2x^4-xy^3+y^3-y^2=0?
$$
В

Решать будем в натуральных положительных числах.
Предположим, что решение существует. Тогда можно сделать замену
$x=y-a>0$
$2a^4-8ya^3+12y^2a^2-7y^3a+(y^4+y^3-y^2)=0$
Это уравнение не может иметь отрицательных корней и не может иметь четырёх положительных корней (с учётом критерия Гурвица; в данном случае будет неустойчивость). Допустим, что имеется два положительных корня.
По теореме Виета $a_1+a_2-2b=4y$. Т.к. $a_1<y$ то $a_2>3y$
Но фактически эти два корня находятся в промежутке $(0;y)$ (с учётом, что $(f(a=\frac1 2y)<0)$. Получили противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решить диофантово уравнение
Сообщение08.04.2015, 16:45 


03/03/12
1380
Приведу немного сведений из теории устойчивости многочленов.
$x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$
Все коэффициенты положительны. Для устойчивости необходимо и достаточно выполнения условия:
$a_4<\frac{a_1a_2a_3-a_3^2}{a_1^2}$.
Если это условие не выполняется, то многочлен неустойчив. Применим этот критерий к нашему уравнению:
$a^4-4ya^3+6y^2a^2-3.5y^3a+\frac{y^4+y^3-y^2}{2}=0$

$\frac{y^4+y^3-y^2}{2}>\frac{3.5y^3(4y6y^2-3.5y^3)}{16y^2}$
Отсюда пошла ошибка. Многочлен получается устойчив. (Если бы он был неустойчив, то всё бы сошлось; кстати, он устойчив во всей области определения-это для меня полезная информация).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group