2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приближенное равенство
Сообщение05.04.2015, 14:41 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Цитата:
Найти векторный потенциал треугольной рамки с током на больших расстояниях от рамки


Ниже я приведу отрывок авторского решения сжато, в конце поста картинка

Цитата:
Пусть
$r'$ - вектор, проведенный из точки $Q$, в которой находится элемент тока $Idl$, в точку $P$, в которой вычисляется потенциал
$\rho$ - вектор, проведенный из некоторой точки $O$, находящейся вблизи элемента $dl$ в точку $Q$
$r$ - вектор, проведенный из $O$ в $P$
Тогда
$\overset{\rightharpoonup }{r}=\overset{\rightharpoonup }{\rho }+\overset{\rightharpoonup }{r'}\   (1)$
Откуда
$r'^2=r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2\   (2)$
И учтя малость $\rho \ (\rho \ll r)$
$1/r'=1/r + (\overset{\rightharpoonup }{\rho}\overset{\rightharpoonup }{r})/r^3\   (3)$


Собственно, как получилось выражение (3)?
У меня только два соображения, как воспользоваться малостью $\rho$:

Выкинуть последний член из второго выражения
$r'^2=r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2\ \approx r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r}$

Либо поступить так
$r'^2=r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2$

$(r'-r)(r'+r)=-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2$

$r'-r=\frac{-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2}{r'+r}\ \mid_{r'\rightarrow r}^{\rho^2 \rightarrow 0}\approx -\overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r}/r$

$r'-r = \frac{ -\overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r}}{r}$

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное равенство
Сообщение05.04.2015, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Во-первых, зачем писать такой ужас: \overset{\rightharpoonup}{r}
Есть же красивые способы записать "вектор": \vec{r} и \mathbf{r}

Дальше, как стандартно это делается.
У вас есть выражение $r'^2=r^2-2\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}+\rho^2.$ Вам надо найти (для дальнейшего), чему будет равно $\dfrac{1}{r'}\approx?$

Сначала пишется точное выражение: $$\dfrac{1}{r'}=\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}+\rho^2}}.$$ А потом используется эквивалентность бесконечно малых: $(1+\alpha)^n\approx 1+\alpha n.$ И тогда для $n=-1/2$ и для малой величины $\rho/r\ll 1$ сразу выписывается то, что нужно:
$$\dfrac{1}{r'}\approx\dfrac{1}{r}\Bigl(1+\dfrac{\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}}{r^2}-\dfrac{\rho^2}{2r^2}\Bigr)=\dfrac{1}{r}\Bigl(1+\dfrac{\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}}{r^2}+o\,(\tfrac{\rho}{r})\Bigr)\approx\dfrac{1}{r}\Bigl(1+\dfrac{\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}}{r^2}\Bigr).$$
В длинных выкладках такие приближения могут делаться несколько раз, чтобы не таскать за собой длинные выражения до самого конца (а иногда без приближений и нельзя решить уравнения, например, трансцендентные). Но тут надо соблюдать осторожность: иногда приближённое выражение дальше в выкладках используется таким образом, что его надо было бы знать поточнее, например, не с точностью до членов $O(\tfrac{\rho}{r}),$ а с точностью до членов $O\bigl(\tfrac{\rho^2}{r^2}\bigr).$ Тогда надо вернуться и сделать предыдущие приближения более точными, удержать больше членов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближенное равенство
Сообщение06.04.2015, 05:47 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Цитата:
Во-первых, зачем писать такой ужас: \overset{\rightharpoonup}{r}
Есть же красивые способы записать "вектор": \vec{r} и \mathbf{r}

Это пробовал набирать формулы в матпакете
Я все понял, спасибо вам большое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group